Kochanym Dziadkom, moim najwierniejszym kibicom.

Mówiłam, że jak dorosnę, zostanę pisarką!

Tytuł oryginału angielskiego: Mapmatics. How We Navigate the World Through Numbers

First published 2024 by Picador, an imprint of Pan Macmillan, a division of Macmillan Publishers International Limited

Copyright © Paulina Rowińska, 2024

Copyright do przekładu polskiego © Michał Rogalski, 2025

Copyright do niniejszego wydania © Wydawnictwo RN, 2025

Wszelkie prawa zastrzeżone.

ISBN: 978-83-977616-2-9

Wydanie I, Warszawa 2025

Spis treści

Strona tytułowa

Dedykacja

Strona redakcyjna

Przedmowa do polskiego wydania

Wstęp Jak zakochać się w mapach i matematyce

1Zakrzywione Jak opisać Ziemię

2Płaskie Jak stworzyć mapę

3Skalowane Jak mierzyć linie

4Odległe Jak nawigować

5Połączone Jak uprościć mapę

6Podzielone Jak kształtować społeczeństwa

7Odnalezione Jak ratować życie

8Ukryte Jak mapować niewidzialne

Zakończenie Jak nadążyć za zmianami

Podziękowania

Dalsze lektury

Przypisy

Indeks

Kolofon

Przedmowa do polskiego wydania

Napisałam swój debiut książkowy po angielsku, dla brytyjskiego wydawnictwa – ale cała książka powstała w Warszawie, moim rodzinnym mieście. To tam, w żoliborskim mieszkaniu, wstawałam o piątej rano, żeby napisać choć kilka zdań przed pracą. To tam, w warszawskich kawiarniach, spędzałam weekendy z laptopem i drożdżówką, zatopiona w kolejnym rozdziale.

I to właśnie w Warszawie 6 czerwca 2024 roku świętowałam premierę pierwszego wydania Mapomatyki.

Kiedy kolejne wydawnictwa podpisywały umowy na tłumaczenia, wciąż brakowało mi jednego – polskiego wydania. Bo to przecież dzięki polskim książkom i przekładom pokochałam czytanie jako kilkuletnia dziewczynka. W polskich szkołach uczyłam się matematyki, geografii i sztuki pisania. To polska kultura mnie ukształtowała.

Chciałabym, żeby osoby czytające po polsku miały swobodny dostęp do książki, w którą włożyłam tyle serca. A najbardziej czekałam na moment, gdy książka trafi do rąk Babci i Dziadka – którzy z dumą oglądali każdą kolejną wersję językową Mapomatyki, ale też z lekką frustracją pytali: „A kiedy po polsku?”.

Zespół Wydawnictwa RN włożył mnóstwo pracy w to, by jak najbardziej spolszczyć to wydanie. Wiele brytyjskich przykładów zastąpiono polskimi, a polskie osoby czytające dostają dodatkowe ciekawostki o ludziach wspomnianych w książce i ich związkach z naszym krajem.

Jeśli po lekturze Mapomatyki spojrzycie na mapy i matematykę z nieco innej perspektywy, to będę wiedziała, że było warto. Czekam z niecierpliwością na Wasze pytania i komentarze.

Wstęp Jak zakochać się w mapach i matematyce

Pewnego razu, miałam trzy, może cztery lata, rodzice zgasili światła w naszym małym, przytulnym mieszkaniu. Z ciekawością i niepokojem patrzyłam, jak tata włącza lampkę stołową, a potem nakierowuje ją na tani plastikowy globus, próbując możliwie najlepiej wycelować strumieniem światła we wschodnie wybrzeże Stanów Zjednoczonych. „Spójrz –powiedział – w Warszawie jest już ciemno, ale twoja ciocia w Nowym Jorku dopiero zabiera się do obiadu”. Wyjaśniał, że Ziemia jest okrągła i nie przestaje się obracać – w przeciwieństwie do bączków, którymi lubiłam się bawić. I że gdzieś zawsze jest dzień, a gdzie indziej noc.

Po tym niezwykłym wieczorze globus stał się moją ulubioną zabawką. Ciągle nim kręciłam i wskazywałam palcem wymarzone cele podróży, miejsca o fascynujących nazwach, od Aszchabadu po Zanzibar. W pierwszych klasach podstawówki moje rosnące zamiłowanie do geografii znalazło nową pożywkę. Obwiesiłam ściany swojego pokoju mapami, zostawiwszy tylko trochę wolnego miejsca na plakat gwiazdy, w której się podkochiwałam. Upłynęło wiele lat, zanim zrozumiałam, że wisząca w moim pokoju mapa świata i globus z dzieciństwa, choć powinny pokazywać tę samą planetę, opowiadają dwie różne historie.

Na płaskiej mapie Grenlandia była równie wielka jak Afryka, ale już na globusie kontynent przeważał wielkością nad wyspą. Podskórnie przeczuwałam, że coś jest nie w porządku, ale dopiero na studiach, na wykładach z geometrii różniczkowej[1], dowiedziałam się, dlaczego dochodzi tu do uderzających rozbieżności. Nawet tak prosta rzecz jak porównanie obszarów dwóch krajów wymaga pewnej wiedzy o matematycznych regułach kryjących się za mapą.

W XVI wieku flamandzki kartograf Gerard Merkator stworzył mapę z charakterystyczną siatką południków i równoleżników krzyżujących się pod kątami prostymi. Choć z jego odwzorowania korzysta się do dziś, powszechnie wiadomo, że taka mapa zwodzi nasze oczy[1]. Obecne na niej zniekształcenia terenu stanowią łatwą pożywkę dla północnocentrycznych zapatrywań, wedle których globalna Północ uważa się za większą, a więc i potężniejszą od reszty świata. Ciekawe, że minęło niemal 500 lat, a mapa Merkatora wciąż jest standardowym obrazem świata. Od podstawówki pokazuje nam się taki „świato-ogląd”, a z nim przemyca niewypowiedziane przekonanie o wyższości określonego regionu globu i wpływa na to, jak postrzegamy swoje ojczyzny. Mapy kształtują w nas nie tylko poczucie przestrzeni, ale również postrzeganie innych krajów i narodów.

Mapa Merkatora ma dzisiaj złą sławę, a jednak wszyscy nosimy w kieszeniach jej wersje online[2]. Charakterystyczna własność tej mapy – zachowywanie kątów pomiędzy liniami na powierzchni Ziemi – pozwala łatwo ustalić, gdzie leży północ, a to sprawia, że jest ona dziś w nawigacji równie użyteczna, co w czasach swojego powstania. Obecnie powinno się jednak dołączać do niej ostrzeżenie, że zniekształca pewne obszary. Byłby to kartograficzny odpowiednik umieszczanej w niektórych krajach na lusterkach pojazdów przestrogi: „obiekty widziane w lusterku są bliżej, niż się wydają”.

Zniekształcenia na mapie Merkatora nie wzięły się ze złej woli lub braku umiejętności jej twórcy. W 1827 roku Carl Friedrich Gauss – naukowiec równie zrzędliwy i ekscentryczny, co wszechstronny, utalentowany i pomysłowy – udowodnił matematycznie niemożliwość doskonałego odwzorowania trójwymiarowego globu na dwuwymiarowej mapie. Jego twierdzenie wyborne (to nie żart, ale przekład łacińskiej nazwy tego twierdzenia), choć pełne specjalistycznego żargonu i technicznych założeń, sprowadza się do prostej konstatacji: pozbawione wad zredukowanie trzech wymiarów do dwóch jest niewykonalne. Nie możemy stworzyć idealnej mapy na płaskiej powierzchni.

Niniejsza książka zgłębia twierdzenie wyborne Gaussa i wiele innych matematycznych odkryć, które pozwalały w nowym świetle zobaczyć tworzone przez nas mapy i to, jak przez nie postrzegamy świat. Mapy są obrazem rzeczywistości, ale żeby z nich w pełni korzystać, musimy zrozumieć kryjącą się za nimi matematykę. W przeciwnym razie będziemy wyciągać pochopne wnioski i przejmować świadome lub nieświadome uprzedzenia tworzących mapy kartografów. Dla przykładu: w rozdziale drugim przyjrzymy się zniekształceniom wynikającym z różnych sposobów przedstawiania kuli na płaskim arkuszu papieru i zdobędziemy matematyczne narzędzia, dzięki którym podobne deformacje już nas nie zwiodą.

Ilustracja 0.1. Południki to umowne linie na powierzchni Ziemi, które łączą jej bieguny. Długość geograficzna określa położenie punktu względem południka zerowego. Równoleżniki to umowne okręgi na powierzchni Ziemi, równoległe do równika. Szerokość geograficzna określa położenie punktu względem równika.

0.1. rys. Filip Pachla

Matematyka przydaje się nie tylko do interpretowania map. Dzięki niej możemy je tworzyć – i to tak, aby rozwiązywały problemy, z którymi się na co dzień zmagamy. W rozdziale siódmym zobaczymy, jak połączenie map i rachunków chroni ludzi przed różnymi niebezpieczeństwami – zarówno przed chorobami, jak i zagrożeniami ze strony seryjnych morderców. Narzędzia matematyczne pozwalają wyciągnąć z mapy dużo więcej informacji, niż zdołałyby niewprawne oko i osamotniona intuicja. Rozwój technologii i mocy obliczeniowych sprawił, że podparte matematyką zastosowania map zyskały na znaczeniu.

W książce poznamy wiele przykładów tego, jak matematyka i kartografia wzajemnie się wzbogacają – ta obustronna relacja zainspirowała zresztą tytuł. Praca matematyczki i praca kartografki, choć z pozoru tak różne, są zaskakująco podobne. Chcąc stworzyć użyteczne modele zjawisk zachodzących w świecie, zarówno matematycy, jak i twórcy map muszą zdecydować, jakie informacje zachować, a jakie pominąć. Ich wybory będą prowadziły do bardzo różnych wyników. Patrząc na mapę lub analizując model matematyczny, powinniśmy rozumieć nie tylko to, co widzimy, ale i to, czego nie widać. Wiele od tego zależy, a niepowodzenie może mieć najrozmaitsze reperkusje, od nadłożenia drogi przez pieszego po wybuch międzynarodowego konfliktu.

Przyjrzymy się mapom we wszystkich skalach – od map świata po plany osiedla – i na każdy temat: od nieintuicyjnych wskazówek dotyczących orientacji meczetów po mylące schematy metra. Wybierzemy się i do starożytnej Grecji, żeby z niewiarygodną dokładnością (bez satelitów i bez fotografii) zmierzyć promień Ziemi, i do osiemnastowiecznego Królewca, którego siedem mostów stało się inspiracją do powstania zupełnie nowego działu matematyki: teorii grafów. Wkroczymy wreszcie w świat wymiarów fraktalnych, a podziwiając złożoność zwyczajnego kalafiora, zrozumiemy, dlaczego mierzenie granic państw jest niemal niemożliwe i jakie ma geopolityczne konsekwencje.

Nie umiemy obyć się bez map. Zdajemy się na nie, jadąc do pracy lub szkoły, podróżując i interpretując wiadomości ze świata, ale także walcząc z chorobami, łapiąc przestępców i szukając zaginionych samolotów. Mapy karmią się matematyką i same dały asumpt do wielu matematycznych przełomów. Kiedy raz dostrzeżemy związek między matematyką a kartografią, nie będziemy w stanie go „odzobaczyć”. Dzięki niemu lepiej zrozumiemy, jak działa nasz świat.

1. [1] Geometria różniczkowa to gałąź matematyki badająca krzywe, powierzchnie i różne kształty. (O ile nie zaznaczono inaczej, wszystkie przypisy pochodzą od autorki).

1 Zakrzywione Jak opisać Ziemię

Podobnie jak wiele osób dorastałam w przekonaniu, że dopóki dzielny Krzysztof Kolumb nie „odkrył” Ameryki, ludzie byli pewni, że Ziemia jest płaska. Na lekcjach historii uczono nas, że w 1492 roku Kolumb wypłynął z hiszpańskiego Palos de la Frontera na zachód i dotarł do miejsca, które uznał za „Indie” (Daleki Wschód). Jego podróż wyznaczała koniec średniowiecza i początek renesansu albo – jak chciały nasze podręczniki – zmierzch „wieków ciemnych” i świt „epoki wielkich odkryć”. Bez wielkiego Kolumba nasi nauczyciele geografii pokazywaliby nam kontynenty i oceany na planecie płaskiej jak naleśnik.

Mit głoszący, że Kolumb chciał dopłynąć na wschód Azji, aby dowieść, że Ziemia jest okrągła, pochodzi z Żywota i podróży Krzysztofa Kolumba, fabularyzowanej biografii odkrywcy napisanej w 1828 roku przez Washingtona Irvinga[1]. Prawda jest taka, że wykształceni ludzie od starożytności wiedzieli, że Ziemia nie jest płaska. Niemal dwa tysiące lat przed podróżami Kolumba grecki filozof Arystoteles wydał traktat O niebie, gdzie wspomina, że podczas zaćmienia można obserwować cień kulistej Ziemi na Księżycu[1][2]. Samo to nie wyklucza jeszcze możliwości „dyskokształtnej” Ziemi, ale ten wariant okazuje się niemożliwy, jeśli doda się fakt, że cień Ziemi pozostaje okrągły nawet przy zmianie orientacji przestrzennej. Arystoteles zauważał, że inne gwiazdy widać na egipskim, a inne na greckim niebie, i dochodził do wniosku, że skoro Grecja i Egipt leżą blisko siebie, to Ziemia musi być niewielka[3]. Kolumb pisał: „Arystoteles mówi, że pomiędzy skrajem Hiszpanii a początkiem Indii leży niewielkie morze dające się przepłynąć w kilka dni”[4]. Szansa na nietrudną a owocną podróż musiała rozpalić ciekawość tego doświadczonego (i chciwego) odkrywcy.

Kiedy po swojej podróży na zachód żeglarz dobił do lądu, ufny w swoje nawigacyjne umiejętności ogłosił, że dokonał czynu, który inni uznawali za niewykonalny: znalazł szybszą drogę do Indii, kraju bogatego w jedwabie i przyprawy – drogę czekającą tylko, żeby ją wykorzystać i handlować. Już w szkole podstawowej uczymy się jednak, że Kolumb dotarł nie do Azji, ale na dzisiejsze Bahamy u wybrzeży Ameryki Północnej, a tym samym „odkrył” przed Europejczykami cały kontynent. Ja sama przez bardzo długi czas nie postawiłam sobie pytania, jak wytrawny nawigator mógł popełnić tak wielki błąd. Wiedział, że Ziemia nie jest płaska, i musiał z pewnością oszacować, jak długo potrwa taka podróż. Pomyślałam w pierwszej chwili, że pomylił Amerykę z Azją, bo zwyczajnie źle obliczył odległość między Hiszpanią a Indiami. Później dowiedziałam się, że nie chodziło o matematyczny błąd, ale o fabrykowanie danych. Kolumb znał dokładne wyliczenia rozmiarów Ziemi, ale zdecydował się je po prostu zignorować. Co najważniejsze, to nie były nieznane szerzej wielkości pochodzące z nowatorskich pomiarów Ziemi. Szacunki miały niemal dwa tysiące lat.

Ze słońcem twarzą w twarz

Urodzony w 276 r. p.n.e. w starogreckiej Cyrenie (dzisiejsza Libia) Eratostenes był uznanym matematykiem, geografem, poetą, astronomem i teoretykiem muzyki. W pewnym momencie przeniósł się do Egiptu, żeby objąć szefostwo Biblioteki Aleksandryjskiej, jednej z najbardziej znanych bibliotek w historii. Uczony był pierwszą znaną nam osobą, która w naukowy sposób obliczyła obwód Ziemi, i to ze zdumiewającą dokładnością. Do naszych czasów nie zachowało się niestety jego dzieło O pomiarze Ziemi, w którym zawarł wyniki obliczeń, ale kilka stuleci później (nie wiemy dokładnie kiedy) streścił je grecki astronom Kleomedes.

Eratostenes uważał, że Ziemia jest kulą. Wiedział, że w dzień letniego przesilenia, najdłuższy dzień roku na półkuli północnej, słońce świeci bezpośrednio na zwrotnik Raka, rozświetlając wnętrza nawet najgłębszych studni[2]. Wiedząc, że w południe czasu miejscowego – czyli w takim momencie dnia, kiedy słońce znajduje się najwyżej na niebie – głęboką studnię w Syene (dzisiejszym egipskim Asuanie) rozświetlało padające prosto z góry światło słońca, Eratostenes postanowił poznać pozycję słońca o tej samej porze w Aleksandrii. Tak się złożyło, że oba miasta leżały na tym samym południku, więc południe czasu miejscowego przypadało w nich równocześnie[3]. Aby znaleźć kąt, pod jakim promienie słoneczne padają na Ziemię, Eratostenes zmierzył ten pomiędzy pionowym słupem nazywanym gnomonem a linią łączącą wierzchołek słupa z końcem jego cienia. Okazało się, że wynosi on 7,2 stopnia. Podobny gnomon znajdujący się w Syene nie rzucał żadnego cienia, a więc tam mierzony kąt był równy zero.

A teraz wyobraźmy sobie, że zabieramy się za wycięcie kawałka pizzy. Wszyscy wiedzą, że najlepsza część to chrupiąca skórka (prawda?), a im większy kąt w środku kawałka, tym większą porcję brzegu ciasta się dostaje – i tym więcej chrupania. Innymi słowy, stosunek kawałka obwodu koła wycinanego przez dwa promienie do całego obwodu jest równy stosunkowi kąta zawartego pomiędzy tymi promieniami do 360 stopni mieszczących się w całym kole. A zatem odległość między Syene a Aleksandrią podzielona przez obwód Ziemi równa się kątowi środkowemu między dwoma miastami podzielonemu przez 360 stopni. Tak się składało, że dystans dzielący obie miejscowości już wówczas zmierzono i wynosił on 5000 stadionów (stadion jest starożytną jednostką miary). Eratostenesowi brakowało już tylko kąta środkowego między dwoma miastami.

Ilustracja 1.1. W dzień letniego przesilenia promienie słoneczne padają prostopadle na ziemię w Syene i rzucają cienie w Aleksandrii. Kąt środkowy pomiędzy Syene a Aleksandrią oraz kąt pomiędzy promieniami słonecznymi a aleksandryjskim gnomonem są sobie równe. Te dane wystarczyły Eratostenesowi do obliczenia obwodu Ziemi z zaskakującą dokładnością.

1.1. rys. Filip Pachla

Uczony założył, że promienie słoneczne są do siebie równoległe – co tak właściwie nie jest prawdą, ale z praktycznego punktu widzenia wydaje się rozsądnym założeniem. Słońce znajduje się tak daleko od Ziemi i jest od niej tyle razy większe, że raptem niewielka cząstka jego promieni dociera do naszej planety, a to czyni je niemalże równoległymi. Oznacza to, że kąt środkowy między Syene a Aleksandrią oraz kąt między aleksandryjskim gnomonem a promieniami słonecznymi powstają z przecięcia przez tę samą prostą (przedłużony promień między środkiem Ziemi a Aleksandrią) dwóch innych prostych równoległych (przedłużonych promieni słonecznych padających w Syene i Aleksandrii). Dzięki staremu geometrycznemu twierdzeniu, którego wciąż uczymy się na lekcjach matematyki, Eratostenes wiedział, że to para równych sobie kątów[4]. Znaczyło to, że kąt środkowy między naszymi dwoma miastami równał się jednej pięćdziesiątej całego okręgu, z czego uczony wywnioskował, że odległość między Syene a Aleksandrią stanowi pięćdziesiątą część obwodu Ziemi. I tak otrzymał pierwszą naukowo oszacowaną wartość obwodu planety: 50 · 5000 = 250 000 stadionów.

Historycy spierają się, ile dokładnie mierzył stadion, a to uniemożliwia definitywną ocenę dokładności szacunków Eratostenesa. Zostawmy jednak na boku te spory, gdyż większość badaczy i badaczek zgadza się, że otrzymał wynik niewiarygodnie bliski rzeczywistych 40 tysięcy kilometrów z drobnym okładem. Eratostenes miał sporo szczęścia, bo popełnił po drodze kilka wzajemnie się znoszących błędów. Na przykład Syene nie leży dokładnie na zwrotniku Raka, ale jest trochę przesunięte na północ. Dodatkowo – wbrew jego założeniu – Syene i Aleksandria nie znajdują się na tym samym południku, bo drugie z miast leży bardziej na zachód. Cóż, modele matematyczne nigdy perfekcyjnie nie odwzorowują rzeczywistości. Najważniejsze jest to, że metoda Eratostenesa była naukowo bez zarzutu i gdyby uczony dysponował dokładniejszymi narzędziami mierniczymi, jego szacunki nie różniłyby się od dzisiejszego stanu wiedzy. Właśnie dlatego uważa się go często za twórcę geodezji[5], a więc nauki zajmującej się pomiarami kształtu Ziemi, jej orientacji w przestrzeni i jej pola grawitacyjnego[6].

Kreatywna kartografia Kolumba

Przyjrzyjmy się jeszcze chwili, gdy Kolumb rozmyślał nad podróżą do Indii. Zdaniem uczonego Hernando Kolumba, który był synem Krzysztofa, ojciec odkrywca znał dzieła starożytnych i średniowiecznych geografów[7], w tym Eratostenesa. Użył tej wiedzy, aby przekonać innych do swojego pomysłu, że da się dotrzeć do Indii, podróżując na zachód. Równocześnie Kolumb miał świadomość, że każdy rozsądny kandydat na fundatora podróży wziąłby z początku jego pomysł za szaleństwo, więc bardzo ostrożnie dobierał wygodne dla siebie fakty i liczby, kiedy prezentował przedsięwzięcie.

Do oszacowania długości potencjalnej podróży na zachód do Azji Wschodniej Kolumb potrzebował dwóch danych: obwodu Ziemi i szerokości Azji. Dystans do przebycia byłby bliski różnicy tych wartości, a więc im mniejszy obwód Ziemi i szersza Azja, tym krótsza droga do Indii.

Jednym z najważniejszych wzorów do naśladowania był dla Kolumba Marco Polo, wenecki kupiec, który w końcu XIII stulecia zawędrował do Azji. Kolumb dowiedział się o tej wyprawie od jednego ze swoich współczesnych, Paola dal Pozzo Toscanellego, florenckiego matematyka i astronoma, nazywanego także Pawłem Lekarzem. Wiedzę geograficzną Toscanellego ceniono tak wysoko, że król Portugalii Alfons V dopytywał go o najszybszą drogę do „kraju korzeni”, czyli do Indii[8]. W tamtych czasach przyprawy były towarem równie cennym co papier toaletowy w początkach 2020 roku, więc król uznał poszukiwanie łatwiejszych szlaków do Azji za obiecującą inwestycję. Alfons V chciał wiedzieć, czy wysyłać ludzi, aby żeglowali wokół Afryki, czy może podróż na zachód byłaby lepszym pomysłem. Toscanelli zasugerował drogę na zachód[9] i wsparł swoją opinię własnoręcznie przygotowaną mapą morską. Choć ta mapa nie przetrwała do naszych czasów, badacze kolejnych stuleci odtworzyli ją na podstawie późniejszych map, które albo były na niej wzorowane, albo pozostawały pod wpływem szczegółowego opisu drogi na zachód zamieszczonego w liście uczonego.

Gdy Kolumb dowiedział się o pomyśle Toscanellego ze szlakiem zachodnim, napisał do niego sam, żeby zapytać o szczegóły. Florencki lekarz odpowiedział, dołączając kopię swojego listu do króla i mapę morską ilustrującą szczegóły trasy. Kolumb, ufny (być może nadmiernie) w swoje żeglarskie umiejętności, nie szukał wiedzy, ale potwierdzenia własnych przekonań przez szanowanego badacza – no i dostał, czego chciał. Zarówno Kolumb, jak i Toscanelli wierzyli w dokładność dzienników Marca Polo, w których przedstawiono Azję o 30 stopni szerszą, niż jest w szacunkach współczesnych geodetów. Sprzyjającą okolicznością była i ta, że Marco Polo umieszczał legendarnie bogate wyspy Cipangu (dzisiejszą Japonię) ponad 2000 kilometrów na wschód od wybrzeży Azji, gdy tak naprawdę najkrótsza droga z wysp na kontynent to tylko 200 kilometrów[10]. Pomimo tych nieistniejących skrótów Toscanelli i tak szacował całą podróż na ponad 9000 kilometrów – dużo więcej, niż byłby w stanie znieść jakikolwiek piętnastowieczny żeglarz. I tu wkroczył talent Kolumba do manipulowania danymi.

Wielu uczonych przed Kolumbem próbowało mierzyć obwód Ziemi. Jak widzieliśmy w przypadku Eratostenesa, który z dostępnych mu narzędzi zrobił znakomity użytek, nawet najlepsze metody nie gwarantowały perfekcyjnego szacunku, a dodatkowym problemem było to, że różni badacze używali różnych jednostek. Kolumb postanowił tak dobierać dane, aby Ziemia była możliwie najmniejsza, a Indie – jak najbliższe. Ostatecznie zdecydował się na szacunki arabskich geografów, którzy wyliczyli obwód Ziemi na równowartość 20 400 mil arabskich o długości 2164 metrów każda[5]. Dawało to razem 44 146 kilometrów – szacunek bliski dzisiejszym, ale dla Kolumba to było dużo za dużo. Wziął więc sobie liczbę 20 400, ale twierdził, że chodzi nie o arabskie, ale rzymskie mile, liczące po 1480 metrów – to zmniejszało obwód Ziemi do 30 192 kilometrów. Za pomocą wątpliwych kalkulacji Kolumb zredukował ziemski obwód o jedną czwartą[11]. Jednak nawet na tej skurczonej planecie nieprzerwana podróż między punktem początkowym na Wyspach Kanaryjskich a metą w Cipangu byłaby zbyt długa dla większości najnowocześniejszych statków. Kolumb „dodał” więc trochę wysp, a wszystkie w idealnych miejscach na odpoczynek po drodze. Radykalnie skróciło to najdłuższe przepływane jednym ciągiem odcinki. Wszystkie te niedoszacowania wyznaczały położenie Cipangu na mniej więcej tym samym południku co karaibskie Wyspy Dziewicze[12], co też pewnie wpłynęło na nieustanne mylenie kontynentów przez Kolumba.

Następnie żeglarz, wreszcie zadowolony ze swoich wyliczeń, poprosił o sfinansowanie ekspedycji Jana II, nowego portugalskiego króla. Nadworni matematycy szybko wykryli manipulacje Kolumba i doszli do wniosku, że plan jest niewykonalny. Niezrażony odmową nawigator postanowił spróbować szczęścia w Hiszpanii, gdzie przynajmniej dwa razy odprawiono go z kwitkiem. Jednak po latach wysłuchiwania argumentów Kolumba król Ferdynand II i królowa Izabela I wreszcie zaakceptowali jego propozycję, głównie pod wpływem entuzjazmu hiszpańskiego podskarbiego koronnego[13].

Kolumb okłamywał wszystkich dookoła, ale dlaczego też samego siebie? W końcu to on zapłaciłby najwyższą cenę, gdyby wyprawa okazała się klapą. Jak zauważa amerykański historyk Samuel Eliot Morison, autor nagrodzonej Pulitzerem biografii włoskiego nawigatora Admiral of the Ocean Sea (Admirał oceanu), „Kolumb nie miał umysłu logicznego. Wiedział, że da radę, więc liczby musiały pasować”[14]. Kolumb umarł w przekonaniu – przynajmniej oficjalnie – że odkrył zachodnią drogę do Indii[15], gdy po trzydziestu trzech dniach dotarł na Bahamy – mniej więcej w tym samym czasie, w jakim chciał dotrzeć do Cipangu[16]. Zdaniem Morisona, gdyby między Hiszpanią a Indiami nie było żadnej ziemi, Kolumb zapewne nie dotarłby do Azji, bo jego statki nie były technicznie zdolne do tak długiej podróży. Kolumb miał szczęście, czego nie można powiedzieć o Amerykanach zdziesiątkowanych przez europejskich „odkrywców”.

Skoro tak utalentowany nawigator jak Kolumb nie potrafił odróżnić Ameryki od Azji, to jak mogliśmy w ogóle marzyć o opracowaniu dokładnych map? Przełom w technikach mierniczych nadszedł kilkadziesiąt lat później i skrył się w dodatku do przemilczanej książki, która dopiero po latach stała się bestsellerem.

Magia trójkątów

W 1524 roku, w dwadzieścia lat po ostatniej podróży Kolumba, młody niemiecki matematyk i początkujący wydawca prac naukowych Petrus Apianus napisał i opublikował książkę Cosmographia, podręcznik poświęcony rozmaitym zagadnieniom – od astronomicznych, przez kartograficzne, po te dotyczące przyrządów matematycznych. Pomimo imponującego zakresu tematów praca nie odniosła sukcesu[17]. Jednak pięć lat później niderlandzki matematyk Gemma Frisius nieznacznie zredagował książkę Apianusa i ta druga edycja stała się popularnym naukowym wprowadzeniem do astronomii i matematyki. Sukces wydania zachęcił Frisiusa do publikacji kolejnego, nowego i poszerzonego o jego własne prace zamieszczone jako dodatki. Dodatki do książki (nazywane z łacińska apendyksami) w jej trzecim wydaniu obejmowały szczegółowy opis triangulacji – techniki, która na zawsze zmieniła kartografię.

W czasach GPS-u uważamy mierzenie dużych dystansów za coś oczywistego, ale w XVI stuleciu dużo łatwiej było ustalać kąty niż odległości. To podsunęło Frisiusowi pewien pomysł[6]. Skoro zmierzyć długi odcinek jest tak trudno – myślał – to może dobrze byłoby zrobić to raz i potem ustalać inne odległości matematycznie?

W pierwszym kroku osoba dokonująca triangulacji – geodeta – mierzy odległość między dwoma określonymi punktami, którą uznaje się za tzw. bazę. Kiedyś taki pomiar był wymagającym fizycznie przedsięwzięciem – trzeba było po linii prostej przesuwać długie i nierzadko ciężkie narzędzia miernicze, nie zważając na jakiekolwiek przeszkody po drodze. Frisius zauważył, że nawet jeśli potrzeba wymierzyć znaczny obszar, wystarczy określić jedną odległość, a resztę otrzyma się dzięki trygonometrii.

Trygonometria bada relacje między kątami i długościami boków trójkąta. Geodeta tworzy trójkąt, w którym jednym z boków zostaje baza, a za trzeci z wierzchołków trójkąta obiera się punkt widoczny z obu krańców tejże bazy, na przykład wieżę lub górski szczyt. Później prowadzący pomiar wyznacza kąty między punktami obserwacyjnymi na krańcach bazy a punktem odniesienia. Za sprawą trygonometrii nie potrzebuje więcej informacji, aby wyliczyć odległości między punktami obserwacyjnymi a punktem odniesienia. Ocaliło to pokolenia geodetek i geodetów przed dwukrotnym żmudnym przedzieraniem się przez gęste lasy, bagna lub jeziora, aby z punktów obserwacyjnych dotrzeć do trzeciego wierzchołka trójkąta. Potęga trygonometrii pozwoliła wyznaczać obie odległości bez ruszania się z bezpiecznej, starannie dobranej bazy.

Już sama ta procedura zaoszczędziłaby geodetom wiele pracy, ale idea Frisiusa sięgała jeszcze dalej. Uczony zaproponował stworzenie sieci triangulacyjnej, gdzie każdy ze zmierzonych boków trójkąta stawałby się bazą dla kolejnego, nowego trójkąta. W zasadzie pozwalało to geodetom na stworzenie dokładnej mapy całego kraju bez konieczności mierzenia jakiejkolwiek odległości poza bazą.

W praktyce mierzy się dodatkowe odległości, aby skorygować nieuniknione błędy pomiarowe, które nakładałyby się na siebie. Taka kontrola nie była jednak absolutnie konieczna.

Za sprawą popularności Cosmographii, którą z łaciny przetłumaczono na francuski, niderlandzki i hiszpański, idea triangulacji szybko rozprzestrzeniła się po Europie[18]. Kartografowie zaczęli wykorzystywać metodę do tworzenia dokładnych map, a do ich grona należał także sławny uczeń Frisiusa, Merkator, który sporządzał pomiary geodezyjne Księstwa Lotaryngii (dziś północno-wschodnia część Francji). Spotkamy go ponownie w kolejnym rozdziale[19].

Ilustracja 1.2. Triangulacji używa się, aby wyliczyć odległości między dwoma punktami obserwacyjnymi a punktem docelowym, wykorzystując do tego odległość między punktami obserwacyjnymi i kąty zmierzone w punktach obserwacyjnych. Metoda przyspieszyła pomiary geodezyjne.

1.2. rys. Filip Pachla

Ilustracja 1.3. W sieci triangulacyjnej zmierzona odległość staje się bazą dla nowego trójkąta.

1.3. rys. Filip Pachla

Na początku XVII wieku kolejny niderlandzki matematyk Willebrord van Royen Snell[7] pokazał prawdziwy potencjał triangulacji i użył jej do wyliczenia rozmiaru Ziemi. Choć opisał swój projekt w książce pod uzasadnionym tytułem Eratosthenes Batavus (Niderlandzki Eratostenes)[20], jego metoda różniła się od starożytnych pomiarów Eratostenesa. Snell wykorzystał triangulację do wyznaczenia odległości między Alkmaarem i Bergen op Zoom, innym niderlandzkim miastem, położonym 130 kilometrów niemal idealnie na południe[21]. Następnie przy użyciu obserwacji astronomicznych Snell ustalił, jaki ułamek całego obwodu Ziemi stanowi dystans między Alkmaarem a Bergen op Zoom. Dzięki temu wyliczył obwód Ziemi z błędem nie większym niż 4% względem dzisiejszych szacunków[22], co znów wydaje się imponujące, wziąwszy pod uwagę prostotę pomiarów i matematycznych narzędzi, które miał do dyspozycji[23].

Triangulacja to metoda równocześnie prosta i potężna. Pozwoliła nam nie tylko tworzyć dokładne mapy, ale także ustalić prawdziwy kształt Ziemi. Nasza planeta nie jest płaska, ale to nie znaczy od razu, że jest kulista – jednak aby to odkryć, musieliśmy zorganizować pierwszą w historii międzynarodową ekspedycję.

Wiele hałasu o kształt Ziemi

Cieszący się światową sławą projektant statków, historyk nauki i finalista Nagrody Pulitzera Larrie D. Ferreiro z chęcią rozmawia o geodezji, zwłaszcza – jak przyznaje – z innymi absolwentkami i absolwentami Imperial College w Londynie. Z powodu pracy musi dobrze orientować się w polityce i być na bieżąco, więc nie zdziwiło mnie, kiedy na wieść, że jestem w Warszawie, od razu postawił mnóstwo pytań o wpływ wojny w Ukrainie na sytuację w Polsce. Wywiązała się z tego fascynująca rozmowa o tym, jak ważne jest uwzględnianie politycznego i społecznego kontekstu w dyskusjach o nauce. Ferreiro z dobrym skutkiem zastosował takie podejście w swojej książce Measure of the Earth (Mierzenie Ziemi)[24].

W XVII wieku Europejczycy podejrzewali już, że nasza planeta nie jest doskonałą kulą, ale nie było zgody co do jej właściwego kształtu.

Francuski filozof René Descartes (Kartezjusz) twierdził, że Ziemia jest wydłużona na biegunach, co nadawałoby jej formę jajka[8]. Po drugiej stronie kanału La Manche brytyjski uczony Isaac Newton argumentował, że siły działające na Ziemię podczas obrotów spłaszczają ją na biegunach, a wybrzuszają wzdłuż równika, więc planeta przypomina kształtem grejpfrut. W 1687 roku w przełomowej książce Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Matematyczne zasady filozofii naturalnej) Newton opisywał teorię grawitacji, niemal magicznej siły przyciągania. Uważał, że za sprawą różnic w grawitacji wahadła na równiku poruszają się wolniej niż w Europie. Przekonywał, że im bliżej środka Ziemi znajduje się zegar, tym większa siła grawitacyjna działa na wahadło, więc tym szybciej zegar bije. Taką różnicę wyjaśniała wyłącznie spłaszczona planeta.

Spór o to, czy Ziemia jest jajo-, czy grejpfrutokształtna, nie był tylko jałową akademicką dyskusją – miał strategiczne znaczenie. Państwo lepiej radzące sobie z nawigacją było w stanie zbudować silniejsze imperium, więc ani Brytyjczycy, ani Francuzi nie mogli sobie pozwolić, żeby ich statki zbaczały z kursu o setki mil, do czego dochodziłoby w przypadku zakładania przez nawigatorów złego kształtu Ziemi. Wygranie tego naukowego sporu miało ponadto znaczenie symboliczne – obie wielkie potęgi chciały potwierdzić teorię swojego uczonego. Francja wspierała kartezjańską jajokształtność, a Brytyjczycy przedkładali nad nią newtonowskiego grejpfruta.

Podczas naszej rozmowy Ferreiro porównywał ten spór do zimnowojennego wyścigu na Księżyc, który „nie miał nic wspólnego z nauką”. I Stany Zjednoczone, i Związek Radziecki były przekonane, że wygranie wyścigu na Srebrny Glob zapewni zwycięzcy i jego ustrojowi – czy byłby to kapitalizm, czy komunizm – aprobatę świata. Batalia o kształt Ziemi też była sprawą równie polityczną, co naukową. Parafrazując pruskiego generała Carla von Clausewitza, Ferreiro przekonywał mnie, że „nauka jest jedynie kontynuacją polityki innymi środkami”. Wyjaśniał, że „sama nauka z pewnością poszukuje faktów, ale wystarczy spojrzeć szerzej i zwrócić uwagę na kontekst (kto za to płaci, kto jest fundatorem, jakie intencje stoją za takim wsparciem), aby uświadomić sobie, że nauka zawsze miała także polityczny wymiar”.

Jean-Frédéric Philippe Phélypeaux, hrabia de Maurepas, młody, utalentowany minister na dworze Ludwika XV, rozumiał tę polityczność nauki. Kiedy w 1734 roku Akademia Francuska otrzymała propozycję rozstrzygnięcia debaty nad kształtem Ziemi raz na zawsze, Phélypeaux stał się najgorętszym orędownikiem tego rozwiązania. Ambitny projekt zakładał wysłanie misji aż na równik, aby zmierzyć długość stopnia szerokości geograficznej.

Półkule północna i południowa są podzielone na 90 stopni szerokości każda – od 0 na równiku do 90 na biegunach. Gdyby Ziemia była doskonałą kulą, wszystkie stopnie szerokości miałyby równą długość, wynoszącą tyle co obwód Ziemi podzielony przez 360, czyli około 111 kilometrów. Skoro jednak planeta kulą nie jest, to stopień szerokości geograficznej oznacza różną odległość w zależności od tego, gdzie się go mierzy. Oznaczało to, że dzięki porównaniu jednego stopnia szerokości na równiku i już zmierzonego jednego stopnia szerokości geograficznej we Francji francuscy naukowcy byliby w stanie stwierdzić, czy poprawny jest kartezjański, czy newtonowski obraz świata. Na jajowatej planecie stopień szerokości geograficznej we Francji obejmowałby mniejszą odległość niż taki sam stopień przy równiku. Z kolei na grejpfrutopodobnej planecie byłoby odwrotnie.

Kiedy pomysł przyjęto, Phélypeaux musiał wybrać najlepszy kierunek dla misji naukowej. Szybko skreślił nieprzyjazne równikowe wybrzeże Afryki i odległe tropikalne wyspy Azji, a wybrał hiszpańską kolonię w Ameryce Południowej: Peru (obejmujące większy obszar niż dzisiaj). Król Hiszpanii, który był stryjem rządzącego Francją Ludwika XV, dał Francuzom swoje błogosławieństwo do prowadzenia pomiarów na hiszpańskim terytorium. Aby zapewnić sobie dostęp do zgromadzonej w trakcie wyprawy wiedzy naukowej i zapobiec wywiezieniu przez Francuzów jakiejś kontrabandy z Peru, Hiszpania wymogła, aby „wspomnianym naukowcom towarzyszyło dwóch inteligentnych Hiszpanów”[25]. Wiosną 1735 roku, po wcześniejszych intensywnych przygotowaniach, zespół złożony z Francuzów i Hiszpanów wyruszył do Ameryki Południowej, rozpoczynając pierwszą w historii międzynarodową ekspedycję naukową.

Grono akademików przyzwyczajonych do prowadzenia badań teoretycznych z wygodnych foteli nie było przygotowane na wyzwania czekające w Peru. Uczeni nie spodziewali się ani skrajnych mrozów w wysokich Andach, ani zrozumiałej wrogości Peruwiańczyków wobec europejskich najeźdźców, ani miejscowych rozgrywek politycznych. Przede wszystkim zaś szacowali, że ich przedsięwzięcie potrwa dwa lata. Gdy je planowali, nie mieli pojęcia, że pierwszy z nich wróci do domu po ponad dekadzie, a niektórzy nie wrócą wcale. Biorąc pod uwagę, jak bardzo członkowie ekspedycji nie nadawali się do tego zadania, jej powodzenie można uznać za prawdziwy cud[9].

Celem ekspedycji było ustalenie przy pomocy triangulacji odległości między miastami Quito (na północy) i Cuenca (na południu). Skala fizycznego wysiłku, jakiego wymagała ta praca, zaskoczyła uczestników. Miasta – oba leżą dzisiaj w Ekwadorze – dzieliło ponad 300 kilometrów, mniej więcej tyle co dystans między Warszawą a Krakowem. Jednak nie to było najgorsze. Triangulacja wymaga sieci dobrze widocznych punktów, co w praktyce oznaczało konieczność wspinania się na kolejne szczyty Andów i schodzenia z nich. Naukowcy i tak nie mieli się przy tym tak źle jak miejscowi tragarze, zatrudnieni do noszenia ciężkiego sprzętu dla swoich białych „pracodawców”. Dla zapewnienia precyzji pomiarów badacze używali żelaznego przyrządu zwanego kwadrantem, który był niezawodny, ale i nieporęczny, bo miał ponad metrowy promień. Wspinaczka była ciężka, a do tego nic nie gwarantowało, że na szczycie będzie dobra widoczność. Nierzadko ekspedycja musiała czekać na moment przejaśnienia przez wiele dni, czasem tygodni, wszystko w deszczu albo śniegu. A śniegu była tam masa. Bynajmniej nie na to pisali się geodeci, kiedy ruszali na wyprawę w tropiki!

Przed rozpoczęciem właściwej triangulacji zespół poświęcił wiele miesięcy na zmierzenie mniej więcej jedenastokilometrowej bazy. Pomiary, choć prowadzone na płaskim terenie, były może nawet żmudniejsze niż wspinaczka na szczyty. Zaczynało się je od ułożenia dwumetrowego żelaznego pręta zwanego toazem na początku bazy i zaznaczenia, gdzie toaz się kończy. Następnie przesuwano to ciężkie narzędzie wzdłuż bazy, za każdym razem zaczynając od punktu, w którym poprzednio się skończyło. Taka przekładanka była powtarzana tysiące razy aż do chwili, kiedy pręt docierał do punktu końcowego. Później, na samym końcu triangulacji, powtórzono cały ten proces. Powtórne mierzenie bazy nie było nieodzowne, ale pozwalało ocenić dokładność samej triangulacji[10].

Po ukończeniu triangulacji i wyczerpujących prac w terenie naukowcy skoszarowali się na dłuższy czas w Cuenca, aby dokonać złożonych matematycznych obliczeń. Jak już wiemy, wyznaczenie dwóch boków trójkąta przy znajomości trzeciego i dwóch kątów przyległych wymaga zastosowania trygonometrii – a tu trzeba było przeprowadzić obliczenia dla każdego trójkąta w długim, ponadtrzystukilometrowym łańcuchu. Aby osiągnąć większą dokładność, przyjęto też cały szereg korekt mających zniwelować na przykład różnice w wysokości punktów obserwacyjnych oraz krzywiznę Ziemi[11], a to jeszcze bardziej komplikowało kalkulacje.

Wreszcie dzięki obserwacjom astronomicznym ustalono szerokości geograficzne Quito i Cuenca. Wyznaczanie położenia gwiazd na niebie i przeprowadzanie skomplikowanych wyliczeń zajęło ponad dwa lata, ale wreszcie członkowie ekspedycji określili odległość kątową między południowym a północnym krańcem łańcucha triangulacyjnego. Podzieliwszy wynik triangulacji przez tę wartość, wyliczyli, że jeden stopień szerokości geograficznej na równiku mierzy 110 612 metrów, co tylko o 40 metrów różni się od obecnie przyjmowanej wartości[26]. Była to wartość mniejsza od długości stopnia zmierzonego w Paryżu, co dowiodło Newtonowskiej teorii o Ziemi spłaszczonej przy biegunach.

Konsekwencje wyprawy geodezyjnej na równik sięgają dużo dalej niż wyznaczenie prawdziwych rozmiarów Ziemi. Sukces ekspedycji pokazał kolejnym pokoleniom naukowców, że współpraca międzynarodowa jest możliwa i że możliwe są ambitne projekty badawcze na słabo poznanych terytoriach. Zainspirowała inne przełomowe ekspedycje wielostronnie uzdolnionych naukowców, m. in. Alexandra von Humboldta i Charlesa Darwina. Ponadto dziesięciolecia spędzane w terenie pozwoliły Europejczykom poznać bogate miejscowe kultury, niezmienione przez wpływ hiszpańskiego imperium, co zainspirowało ideę niepodległych południowoamerykańskich narodów. Wenezuelski polityk Simón Bolívar wskazywał zresztą na ekspedycję geodetów jako źródło inspiracji dla swojego ruchu narodowowyzwoleńczego[27]. Może jednak nic tak wyraźnie nie świadczy o znaczeniu wyprawy geodezyjnej na równik jak etymologia nazwy Ekwador – kraju, który w 1830 roku wywalczył sobie niepodległość. „República del Ecuador” znaczy po hiszpańsku tyle co „Republika Równika”[28].

Poznanie kształtu Ziemi okazało się kluczowe dla rozwoju kartografii – od map papierowych aż po dzisiejszy GPS[29]. Jednak znajomość precyzyjnych wymiarów planety nie przełożyła się automatycznie na idealną dokładność map – ani w XVIII wieku, ani współcześnie. Możemy sobie poszerzać naszą geodezyjną wiedzę, ile tylko chcemy, ale nigdy nie stworzymy doskonałej płaskiej mapy – i winnym tego jest sam zakrzywiony kształt Ziemi.

Książę geodezji

Problem zmapowania czy odwzorowania niemal sferycznej powierzchni Ziemi na płaszczyźnie był jednym z wielu zainteresowań badawczych Carla Friedricha Gaussa. Gauss urodził się w 1777 roku w Brunszwiku (dzisiejsze Niemcy), w ubogiej rodzinie. Jego ojciec i matka nie mieli za sobą zbyt długiej edukacji[12], za to on szybko zabłysnął wyjątkowymi talentami[30]. W wieku siedmiu lat poszedł do miejscowej szkoły podstawowej, której dyrektor nazwiskiem Büttner motywował dwusetkę swoich uczniów, hojnie używając rózgi.

Na niegrzeczne dzieci dyrektor miał też inny sposób: kazał im dodawać do siebie liczby od jednego do stu[13]. Po niecałej minucie dziewięcioletni Gauss podał nauczycielowi tabliczkę z poprawną odpowiedzią[31]. Zamiast dodawać do siebie liczby jedna po drugiej, znalazł pięćdziesiąt par sumujących się do 101 każda: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, itd. A więc 50 · 101 = 5050. Nauczyciel rozpoznał talent i zachęcił ojca Gaussa, żeby pozwalał mu się uczyć wieczorami, zamiast pomagać w domowych obowiązkach. Później, zrozumiawszy, że przekazał już zdolnemu uczniowi wszystko, co sam wiedział, Büttner zamówił bardziej zaawansowane podręczniki arytmetyki i pomógł zapoczątkować nadzwyczajną karierę „księcia matematyki”[32]. Jednak nawet tak zaszczytny przydomek nie oddaje w pełni dokonań, które Gauss poczynił nie tylko w arytmetyce, geometrii, rachunku prawdopodobieństwa i algebrze, ale również na polu magnetyzmu, astronomii i kartografii (a to tylko kilka przykładów). Gauss dostrzegał wartość stosowania matematyki w rozwiązywaniu praktycznych problemów[33] i głośno mówił, że chce zostać „najsubtelniejszym geometrą i doskonałym astronomem”[34]. Nie zaszkodziło i to, że badania stosowane, w przeciwieństwie do czysto teoretycznych, wiążą się zwykle z dużo hojniejszym finansowaniem.

Gauss zdał sobie sprawę, że prowadzenie dokładnych obserwacji astronomicznych wymaga od niego precyzyjnej znajomości położenia obserwatorium i właściwego kształtu Ziemi, co najprawdopodobniej rozbudziło w nim zainteresowanie geodezją[35]. Ów perfekcjonista we wszystkim, za co się zabrał, i w tej dziedzinie został szybko uznany za eksperta. Ceniony historyk kartografii Matthew Edney wyznał mi, że uważa Gaussa za „geodezyjne bóstwo”, i dodał, że matematyk położył fundament pod nowoczesną postać tej dyscypliny. Gauss miał wiele różnorodnych osiągnięć, ale nie było przypadkiem, że to właśnie diagram jego sieci triangulacyjnej oraz sekstant – używane przez niego narzędzie do nawigacji – trafiły w 1993 roku na niemiecki banknot dziesięciomarkowy wydrukowany na cześć uczonego[36].

Ilustracja 1.4. Portret Carla Friedricha Gaussa z 1840 roku pędzla Christiana Albrechta Jensena. Wybitny naukowiec, którego zasługi dla rozwoju licznych dziedzin, w tym geodezji i matematyki, trudno przecenić.

1.4. Christian Albrecht Jensen, Wikimedia Commons, domena publiczna

W 1818 roku Gauss, mający już za sobą wieloletnie uczestnictwo w przeróżnych triangulacjach, objął kierownictwo badań geodezyjnych w Królestwie Hanoweru, które dziś stanowi część Niemiec. Potraktował to zadanie poważnie i wielu pomiarów dokonywał samodzielnie, choć jego nieprzygotowanie do prac terenowych było równie ogromne jak entuzjazm do zbierania cennych danych. Gauss jeździł konno w eleganckim, ale niepraktycznym ubraniu, które wieńczyła aksamitna czapa. Pewnego razu tak bardzo się przez nią przegrzał, że zachorował, co wstrzymało chwilowo wszystkie prace w projekcie. Kiedy indziej matematyk spadł z konia, poobijał się, ale nic poważnego mu się nie stało. Przeciwności go motywowały, a nie zniechęcały. Kolega matematyk Friedrich Wilhelm Bessel próbował odwodzić Gaussa od marnowania czasu i energii na fizyczne prace związane z pomiarami geodezyjnymi. Bessel dostrzegał nadzwyczajny talent matematyczny Gaussa i bał się, że jego chęć robienia wszystkiego osobiście nie zostawi mu czasu na prace teoretyczne. Obawy okazały się nieuzasadnione, bo praktyka geodezyjna, zamiast odebrać Gaussowi chęć do teoretycznych rozważań, zainspirowała część jego najlepszych matematycznych pomysłów. Badacz chciał zrozumieć zwłaszcza geometrię odwzorowywania jednej powierzchni na innej, na przykład sfery na czymś zupełnie płaskim – innymi słowy, chciał rozgryźć kartografię.

W 1827 roku na forum Królewskiego Towarzystwa Naukowego w Getyndze Gauss zaprezentował swoją pracę Disquisitiones generales circa superficies curvas (Ogólne badania powierzchni zakrzywionych), która zawierała wyniki jego geometrycznych dociekań prowadzonych pod wpływem pomiarów geodezyjnych. Wśród wielu wyników znalazł się ścisły dowód niemożliwości stworzenia doskonałej mapy, którego nieoczekiwaną konsekwencją jest właściwa metoda… jedzenia pizzy (choć to mało prawdopodobne, aby Gauss miał kiedykolwiek okazję spróbować tego smakołyku).

Pizze i banany

Chłopak, z którym się umówiłam na randkę, wybredny Włoch, czuł się w obowiązku ciągnąć mnie przez pół Londynu, abyśmy mogli zjeść w jedynej słusznej pizzerii. Kiedy tylko chwyciłam za kawałek ciasta, warstwa pysznego sosu pomidorowego i oliwek poleciała na żółtą bluzkę, którą kupiłam specjalnie na tę okazję (a była taka ładna!). Twarz spomidorowiała mi smutno, bo byłam pewna, że pierwsza randka okaże się ostatnią. Chłopak był matematykiem, więc zastanawiałam się, czy będzie chciał się jeszcze umówić z osobą, która odważyła się zjeść pizzę w tak niematematyczny sposób. Powodem feralnego „plamażu” nie była bowiem moja niezdarność, ale nieznajomość potężnego gaussowskiego twierdzenia o zakrzywionych powierzchniach – tego samego, które wyjaśnia, dlaczego wszystkie mapy są zniekształcone.

Arkusz papieru to jedna z najprostszych powierzchni, z którymi mamy do czynienia na co dzień. Jeśli zwiniemy go w rolkę, czyli kształt walca – jak świeżo kupiony plakat, który trzeba przewieźć – to, co przedtem było płaskim arkuszem, pozostaje płaskie w pionie, ale zakrzywia się w poziomie. No to jaki w końcu jest ten arkusz: płaski czy zakrzywiony?

Do myślenia o powierzchniach matematycy używają pojęcia krzywizny, które opisuje zachowanie powierzchni w określonym punkcie. Wybieramy więc sobie punkt na takiej powierzchni, rysujemy przechodzącą przez niego linię i liczymy, jak bardzo się zakrzywia. Pomyślmy o bananie, takim jak z ilustracji 1.5., i spójrzmy na pewien punkt na jego wierzchu. Linia wzdłuż bananowego „uśmiechu” zakrzywia się do wewnątrz, co oznacza, że ta krzywizna jest ujemna. W kierunku prostopadłym linia zagina się na zewnątrz, więc krzywizna jest dodatnia[14]. Dobrym przykładem krzywizny zerowej jest płaska kartka papieru, bo na niej wszystkie linie są proste. Znak na plus lub na minus przy krzywiźnie wskazuje na ogólną tendencję zachowywania się linii, a sama wartość opisuje, jak mocno będą zakrzywione. Na przykład wszystkie linie i na czubku, i na spodzie jajka są zakrzywione na zewnątrz, ale te przechodzące przez bardziej szpiczasty czubek mają większą krzywiznę, jak widać na ilustracji 1.6.

Ilustracja 1.5. Linia zakrzywiająca się na zewnątrz ma dodatnią krzywiznę, podczas gdy linia zakrzywiona do wewnątrz ma krzywiznę ujemną.

1.5. rys. Filip Pachla

Jeśli wybierzemy dowolny punkt na walcu, sytuacja się komplikuje. Ilustracja 1.7. pokazuje, że pozioma linia na obwodzie walca zakrzywia się na zewnątrz, co oznacza, że ma dodatnią krzywiznę, podczas gdy linia pionowa jest prosta, a więc o zerowej krzywiźnie. Wszystkie pozostałe linie tworzą helisy o dodatnich krzywiznach – im bardziej pozioma linia, tym wyższa wartość krzywizny. Jaka jest więc krzywizna punktu na walcu – zerowa czy dodatnia, a jeśli to drugie, to jak duża? Właśnie na takie pytanie postanowił odpowiedzieć Gauss.

Ilustracja 1.6. Zarówno na górze, jak i na dole jajka wszystkie linie mają dodatnie krzywizny, ale krzywizny w bardziej spiczastej górnej części są większe.

1.6. rys. Filip Pachla

Twierdzenie wyborne

Ilustracja 1.7. Na walcu poziome linie zakrzywiają się na zewnątrz, a linie pionowe są proste.

1.7. rys. Filip Pachla

Gauss doszedł do wniosku, że nie ma sensu, abyśmy tę samą część powierzchni uznawali naraz za wypukłą, wklęsłą i płaską, więc nie powinniśmy mieć możliwości przypisywania różnych krzywizn do tego samego punktu. Opracował procedurę pozwalającą wyrazić krzywiznę punktu za pomocą jednej liczby. Każda z możliwych linii poprowadzonych przez dany punkt na powierzchni ma określoną krzywiznę; spośród nich wybieramy najmniejszą i największą wartość. Krzywiznę Gaussa otrzymamy, gdy pomnożymy te dwie liczby przez siebie. W ten sposób redukujemy wszystkie krzywizny przeróżnych linii przechodzących przez punkt do jednej wartości. Uwaga jednak, aby nie pomylić krzywizny linii z krzywizną Gaussa dla powierzchni!

Reszta tekstu dostępna w regularnej sprzedaży.

1. [1] Już przed Arystotelesem Pitagoras wyobrażał sobie Ziemię jako kulę, a nie dysk. Nie wiemy jednak, czy za tym pomysłem stały wówczas jakiekolwiek dowody. Bardziej prawdopodobne jest, że Pitagoras przyjął właśnie taki wygląd naszej wspaniałej planety, ponieważ Grecy uznawali kulę za kształt doskonały.

2. [2] Zwrotnik Raka to szerokość geograficzna licząca około 23° 27′N; jest to najdalej wysunięty na północ równoleżnik, gdzie słońce może świecić prosto na ziemię. Jego odpowiednikiem na półkuli południowej jest zwrotnik Koziorożca.

3. [3] Miejsca leżące na jednym południku mają tę samą długość geograficzną – ten sam kąt między ich południkiem a południkiem zerowym przechodzącym przez dzielnicę Greenwich w Londynie – i ten sam miejscowy czas słoneczny.

4. [4] Mówiąc precyzyjnie, są to kąty naprzemianległe wewnętrzne.

5. [5] Przedmiotem wyliczeń był tak naprawdę jeden stopień długości geograficznej, ale dla większej jasności przemnożyłam tę wartość przez 360 stopni, żeby otrzymać obwód Ziemi.

6. [6] Od czasów trzeciego wydania Cosmographii metoda triangulacji została ulepszona. Tu opisuję jej współczesny wariant, który opiera się na takich samych zasadach co pierwotny.

7. [7] Nazwisko tego badacza można spotkać w wielu brzmieniach. Oprócz Willebrorda Snella widuje się również Willebrorda Snela i łacińską wersję Willebrordus Snellius. Wiele czytelniczek może kojarzyć to nazwisko z powodu prawa Snella (Snelliusa), opisującego zachowanie światła przechodzącego przez granice dwóch ośrodków, np. wody i powietrza.

8. [8] W wydanej w 1644 roku książce Principia Philosophiæ (Zasady filozofii) Kartezjusz zasugerował, że wszystkie planety, gwiazdy i Księżyc otacza niewidzialna substancja zwana eterem, która wiruje, odkąd Bóg zapoczątkował ruch obrotowy. Miało to wyjaśniać kształt Ziemi.

9. [9] Inicjator i formalny kierownik wyprawy Louis Godin był dużo bardziej zainteresowany miejscowymi kobietami niż pomiarami, a ostatecznie wydał znaczną część środków wyprawy na diament dla jednej ze swoich kochanek.

10. [10] Właściwie było to jeszcze bardziej skomplikowane, bo uczestnicy ekspedycji zmierzyli na końcu dwie bazy, ponieważ Godin i reszta mieli odmienne zdania w kwestii tego, którą bazę powinno się zmierzyć.

11. [11] Wtedy właśnie po raz pierwszy w historii uwzględniono ją w obliczeniach triangulacyjnych.

12. [12] Niepiśmienna matka Gaussa nie odnotowała daty urodzenia syna. Pamiętała tylko, że urodził się w środę, osiem dni przed Wniebowstąpieniem, co później pozwoliło samemu Gaussowi użyć własnoręcznie opracowanego wzoru do wyliczania daty Wielkanocy i wyliczyć także datę swoich urodzin: 30 kwietnia.

13. [13] Niegdysiejszy redaktor i felietonista czasopisma „American Scientist” Brian Hayes próbował ustalić źródło tej anegdoty. Wydaje się, że taka sytuacja rzeczywiście miała miejsce, ale nie wiadomo, jaki zakres liczb mieli ostatecznie dodawać uczniowie.

14. [14] Uznanie krzywizny za ujemną lub dodatnią zależy od naszego układu odniesienia. Możemy więc uznać wklęsłe za krzywiznę dodatnią i wypukłe za ujemną. Istotne jest to, czy określone krzywizny mają te same, czy przeciwne znaki.

Przypisy

Wstęp

1. 1 John Joseph O’Connor, Edmund Frederick Robertson, Gerardus Mercator, MacTutor (Maths History), School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, VIII 2002, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Mercator_Gerardus/.

2. 2 Sarah E. Battersby i in., Implications of Web Mercator and Its Use in Online Mapping, „Cartographica” 2014, vol. 49, no. 2, s. 85–101, https://doi.org/10.3138/carto.49.2.2313.

1 Zakrzywione

3. 1 V. Frederick Rickey, How Columbus Encountered America, „Mathematics Magazine” 1992, vol. 65, iss. 4, s. 219–225, https://doi.org/10.1080/0025570x.1992.11996024.

4. 2 Jill Howard, Shaping the Universe I: Planet Earth, NRICH, University of Cambridge, 2007, popr. 2011, https://nrich.maths.org/5732 (dostęp: 31 VIII 2025).

5. 3 V. F. Rickey, How Columbus Encountered America…, dz. cyt., s. 220.

6. 4 Samuel Eliot Morison, Journals and Other Documents on the Life and Voyages of Christopher Columbus, Heritage Press, New York 1963, s. 22. O ile nie zaznaczono inaczej, wszystkie przytaczane cytaty są w tłumaczeniu Michała Rogalskiego.

7. 5 Irene K. Fischer, Geodesy: Historical Introduction, w: Geophysics: Encyclopedia of Earth Science, Springer, Boston 1989, s. 447–453.

8. 6 National Oceanic and Atmospheric Administration, What Is Geodesy?, National Ocean Service, 1 III 2014, popr. 6 XI 2023, https://oceanservice.noaa.gov/facts/geodesy.html (dostęp: 31 VIII 2025).

9. 7 Samuel Eliot Morison, Admiral of the Ocean Sea: A Life of Christopher Columbus, Boston: Little, Brown, 1942, s. 57.

10. 8 Helen Wallis, What Columbus Knew, „History Today” 1992, vol. 42, iss. 5, s. 17–23, https://www.historytoday.com/archive/what-columbus-knew (dostęp: 31 VIII 2025).

11. 9 Mary Ames Mitchell, Marco Polo and Paulo [sic] Toscanelli, Crossing the Ocean Sea, 2015, https://web.archive.org/web/20230309223459/https://crossingtheoceansea.com/OceanSeaPages/OS-49-PoloToscanelli.html (dostęp: 31 VIII 2025).

12. 10 Japan: A Geographical Sketch, Asia Society, 2002, https://sites.asiasociety.org/education/AsianArt/other.geo.japan.htm (dostęp: 31 VIII 2025).

13. 11 S. E. Morison, Admiral of the Ocean Sea…, dz. cyt., s. 54–78.

14. 12 Tamże, s. 68.

15. 13 Valerie I. J. Flint, Christopher Columbus, Encyclopaedia Britannica, 26 VII 1999, popr. 19 X 2023, https://www.britannica.com/biography/Christopher-Columbus (dostęp: 31 VIII 2025).

16. 14 S. E. Morison, Admiral of the Ocean Sea…, dz. cyt., s. 68.

17. 15 Christopher Columbus, Royal Museums Greenwich, https://www.rmg.co.uk/stories/topics/christopher-columbus (dostęp: 17 V 2023).

18. 16 V. F. Rickey, How Columbus Encountered America…, dz. cyt., s. 224.

19. 17 John Joseph O’Connor, Edmund Frederick Robertson, Petrus Apianus, MacTutor (Maths History), School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, IV 2002, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Apianus/ (dostęp: 31 VIII 2025).

20. 18 Shaw Kinsley i in., Cosmographia: A Close Encounter, Student Virtual Exhibition, Museum of Science, Oxford, 1999. Zob. sekcję The Book: Many Versions of Cosmographia, https://www.mhs.ox.ac.uk/students/98to99/Book/Bookpgs/PageTwo.html (dostęp: 17 V 2023).

21. 19 Thony Christie, Mapping the History of Triangulation, The Renaissance Mathematicus, 25 V 2012, https://thonyc.wordpress.com/2012/05/25/mapping-the-history-of-triangulation/ (dostęp: 31 VIII 2025).

22. 20 Fokko Jan Dijksterhuis, The Mutual Making of Sciences and Humanities: Willebrord Snellius, Jacob Golius, and the Early Modern Entanglement of Mathematics and Philology, w: The Making of the Humanities, vol. 2, ed. Rens Bod i in., University of Amsterdam Press, Amsterdam 2012, s. 73–92, https://doi.org/10.1017/9789048517336.005.

23. 21 John Joseph O’Connor, Edmund Frederick Robertson, Willebrord van Royen Snell, MacTutor (Maths History), School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, XI 2010, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Snell/ (dostęp: 31 VIII 2025).

24. 22 Thony Christie, Getting the Measure of the Earth, The Renaissance Mathematicus, 22 VII 2013, https://thonyc.wordpress.com/2013/07/22/getting-the-measure-of-the-earth/ (dostęp: 31 VIII 2025).

25. 23 Matthew H. Edney, Geodetic Surveying in the Enlightenment, w: The History of Cartography, vol. 4: Cartography in the European Enlightenment, eds. Matthew H. Edney, Mary S. Pedley, University of Chicago Press, Chicago 2019, s. 439–450.

26. 24 Larrie D. Ferreiro, Measure of the Earth: The Enlightenment Expedition That Reshaped Our World, Basic Books, New York 2013.

27. 25 Tamże, s. 38.

28. 26 Tamże, s. 328.

29. 27 Douglas Main, The Remarkable Story of the First Accurate Measure of the Earth, Popular Mechanics, 3 VI 2011, https://www.popularmechanics.com/science/environment/a6674/the-remarkable-story-of-the-first-accurate-measure-of-the-earth/ (dostęp: 31 VIII 2025).

30. 28 Tamże.

31. 29 L. D. Ferreiro, Measure of the Earth…, dz. cyt., s. 287.

32. 30 G. Waldo Dunnington, Jeremy Gray, Gauss: Titan of Science, Mathematical Association of America, Washington, DC 2004, s. 8. Zob. też: Walter K. Bühler, Gauss: A Biographical Study, Springer, New York 1981.

33. 31 Brian Hayes, Gauss’s Day of Reckoning: A Famous Story about the Boy Wonder of Mathematics Has Taken on a Life of Its Own, „American Scientist” 2006, vol. 94, no. 3, s. 200, https://www.americanscientist.org/article/gausss-day-of-reckoning (dostęp: 31 VIII 2025).

34. 32 G. W. Dunnington, J. Gray, Gauss…, dz. cyt., s. 337.

35. 33 Handbook of Mathematical Geodesy Functional Analytic and Potential Theoretic Methods, ed. Willi Freeden, M. Zuhair Nashed, Springer International, Cham 2018.

36. 34 G. W. Dunnington, J. Gray, Gauss…, dz. cyt., s. 113.

37. 35 Fred Roeder, Carl Friedrich Gauss, „Backsights”, Surveyors Historical Society, 1993, http://www.surveyhistory.org/carl_friedric.htm (dostęp: 31 VIII 2025).

38. 36 Oleg Leyderman, 10 Mark 1993, Germany, Notes Collection, https://notescollector.eu/pages/en/notes.php?noteId=1096 (dostęp: 17 V 2023).

Redaktor prowadzący: Filip Pachla

Redakcja: Przemysław Żbikowski

Korekta: Agnieszka Pawlikowska

Konsultacja merytoryczna: dr Tomasz Miller

Opieka redakcyjna: Anna Radwan-Żbikowska

Opieka produkcyjna: Tomasz Jaroszek, Justyna Jaroszek

Projekt okładki: Ula Pągowska

Mapy, opracowanie graficzne ilustracji: Filip Pachla

Fotografia autorki na okładce: Eli Percy

Projekt typograficzny i skład: Robert Oleś, d2d.pl